Bài tập dao động và sóng điện từ có lời giải chi tiết

BÀI TẬP DAO ĐỘNG VÀ SÓNG  ĐIỆN TỪ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: Cho mạch dao động gồm một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 2.10^-4H, C = 8pF. Năng lượng của mạch là E = 2,5.10^-7J. Viết biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch và biểu thức hiệu điện thế giữa 2 bản tụ. Biết O rằng tại thời điểm ban đầu cường độ dòng điện trong mạch có gía trị cực đại.

Lời giải:

Tần số góc \(\omega\) của mạch dao động là: \(\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{2.10^{-4}.8.10^{-12}}}=25.10^{6}(rad/s)\) 

Biểu thức của điện tích trên tụ điện có dạng:    \(q=Q_{0}sin(\omega t+\varphi )=Q_{0}sin(25.10^{6}t+\varphi )\)  (1)

                                                                      \(i=I_{0}cos(25.10^{6}t+\varphi)\))                                     (2)

Theo đầu bài khi t = 0 ; \(i=I_{0}\rightarrow cos(\varphi )=1\rightarrow \varphi =0\)

Năng lượng của mạch \(E=\frac{L{T_{0}}^{2}}{2}=\frac{{Q_{0}}^{2}}{2C}\) ; \(I_{0}=\sqrt{\frac{2E}{L}}=\sqrt{\frac{2.2,5.10-7}{2.10^{-4}}}=5.10^{-2}(A)\) 

\(Q_{0}=\sqrt{2EC}=\sqrt{2.2,5.10^{-7}.8.10^{-12}}=2.10^{-9}C\)

\(\rightarrow i=5.10^{-2}cos(25.10^{6}t)(A)\); \(u=\frac{Q_{0}}{C}sin(25.10^{6}t)=250.sin(25.10^{6}t)(V)\)

Bài 2:  Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Tại thời điểm t = 0, tụ điện bắt đầu phóng điện. Sau khoảng thời gian ngắn nhất \(\Delta t\) = 10^-6s thì điện tích trên một bản tụ điện bằng một nửa giá trị cực đại. Tính chu kì dao động riêng của mạch.

Lời giải:

Ở thời điểm đầu (t = 0), điện tích trên một bản tụ là: q₁ = q_o

Sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, điện tích trên một bản tụ điện là:

 \(q_{2}=\frac{q_{0}}{2}\) ;Ta có: \(\Delta \varphi =\hat{M_{1}OM_{2}}\) Hay: \(\Delta \varphi =\frac{\pi }{3}rad\Rightarrow \Delta t= \frac{\Delta \varphi }{\omega }=\frac{\pi }{3}.\frac{T}{2\pi }=\frac{T}{6}\)

 Vậy, chu kì dao động riêng của mạch là: T = 6∆t = 6.10^-6s

Bài 3:   Một mạch dao động LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Điện tích trên một bản tụ điện có biểu thức:

\(q=q_{0}cos(10^{6}\pi t-\frac{\pi }{2})(C)\). Kể từ thời điểm ban đầu( t = 0), sau một khoảng thời gian ngắn nhất là bao lâu thì năng lượng điện trường trên tụ điện bằng ba lần năng lượng từ trường ở cuộn cảm? 

Lời giải:

Ở thời điểm ban đầu t = 0, điện tích trên một bản tụ là q₁ = 0.

Sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, thì W_L =\(\frac{1}{3}\) W_C

\(\Rightarrow W=\frac{1}{3}W_{C}+W_{C}=\frac{4}{3}W_{C}\Leftrightarrow \frac{{q_{0}}^{2}}{2C}=\frac{4}{3}.\frac{{q_{2}}^{2}}{2C}\Rightarrow q_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}q_{0}\) hoặc \(q_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}q_{0}\)

Ta có:\(\Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }\) .với \(\Delta \varphi =\frac{\pi }{2}-\alpha\); mà \(cos\alpha =\frac{q_{2}}{q_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{6}\Rightarrow \Delta \varphi =\frac{\pi }{3}\).

Vậy: \(\Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }=\frac{10^{-6}}{3}(s)\)

Bài 4:   Một mạch dao dộng LC lí tưởng có chu kì dao động là T. Tại một thời điểm điện tích trên tụ điện bằng 6.10^-7C, sau đó một khoảng thời gian ∆t = \(\frac{3T}{4}\) cường độ dòng điện trong mạch bằng 1,2\(\pi\).10^-3A. Tìm chu kì T.

Lời giải:

Giả sử ở thời điểm ban đầu t₁, điện tích trên tụ điện có giá trị q₁. Ở thời điểm t₂, sau đó một khoảng thời gian ∆t = \(\frac{3T}{4}\)

 ta có \(\Delta \varphi =\omega \Delta t=\frac{2\pi }{T}.\frac{3T}{4}=\frac{3\pi }{2}(rad)\)

Theo giản đồ véc tơ: \(\varphi _{1}+\varphi _{2}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow sin(\varphi _{2})=cos(\varphi _{1})=\frac{q_{1}}{q_{0}}\). 

Từ công thức: \({q_{0}}^{2}=q^{2}+\frac{i^{2}}{\omega ^{2}}\Rightarrow sin(\varphi _{2})=\frac{i_{2}}{\omega .q_{0}}\)

Do đó \(\frac{i_{2}}{\omega .q_{0}}=\frac{q_{1}}{q_{0}}\Rightarrow \omega =\frac{i_{2}}{q_{1}}=\frac{1,2.\pi .10^{-3}}{6.10^{-7}}2000\pi (rad/s)\) Vậy \(T=10^{-3}(s)\)

 Bài 5:   Cho mạch dao động điện LC: C = 5\(\mu\)F = 5.10^-6F; L = 0,2 H

 1) Xác định chu kì dao động của mạch.

 2) Tại thời điểm hđt giữa 2 bản tụ u = 2V và dao động chạy qua cuộc cảm i = 0,01 A. Tính I₀; U₀

 3) Nếu tụ C có dạng 1 tụ phẳng, khoảng cách giữa 2 bản tụ d = 1mm, \(\varepsilon\) = 1 thì diện tích đối diện của mỗi bản tụ là?

 4) Để mạch dao động thu được dải sóng ngắn từ 10m \(\rightarrow\)50m người ta dùng 1 tụ xoay Cx ghép với tụ C đã có . Hỏi Cx ghép nối tiếp hay song song với C và Cx biến thiên trong khoảng nào?.

Lời giải:

1) Chu kì dao động của mạch: \(T=2\pi \sqrt{LC}=2\pi \sqrt{5.10^{-6}.0,2}=2\pi .10^{-3}(S)\) 

 2) \(E=E_{đ}+E_{t}=\frac{Cu^{2}}{2}+\frac{U^{2}}{2}=\frac{L{I_{0}}^{2}}{2}=\frac{{U_{0}}^{2}}{2}\)

 \(I_{0}=\frac{\sqrt{Cu^{2}+Li^{2}}}{\sqrt{L}}=\frac{\sqrt{5.10^{-6}.4+0,2.(0,01)^{2}}}{\sqrt{0,2}}=0,01\sqrt{2}(A)\)

 \(U_{0}=\frac{\sqrt{Cu^{2}+Li^{2}}}{\sqrt{C}}=\frac{\sqrt{4.10^{-5}}}{\sqrt{5.10^{-6}}}=2\sqrt{2}(V)\)

 3) Biểu thức tính điện dung C: C = \(C=\frac{\varepsilon .S}{4k\pi d}\) \(\Rightarrow\) Diện tích đối diện của mỗi bản tụ \(S=\frac{C.4k\pi d}{\varepsilon }\)

 Thay số \(S=\frac{5.10^{-6}.4.10^{9}.\pi .10^{-3}}{1}=556,2(m^{2})\)

 4) Khi chưa ghép Cx:     \(\lambda =v.T=3.10^{8}.2.10^{-3}\pi =6\pi .10^{5}(m)\)

  Khi ghép Cx: \(\lambda _{X}\) nằm trong khoảng 10m đến 50m nhỏ hơn \(\lambda\)

 Lại có  \(\lambda _{X}=2\pi v\sqrt{LC_{b}}\Rightarrow C_{b}< C\)

 Vậy Cx nối tiếp với C: \(\frac{\lambda }{\lambda _{X}}=\sqrt{\frac{C}{C_{b}}}=\sqrt{\frac{C.(C_{X}+C)}{C-C_{X}}}=\sqrt{1+\frac{C}{C_{X}}}\)

 Bình phương 2 vế:   \(\frac{\lambda 2}{{\lambda _{X}}^{2}}=1+\frac{C}{C_{X}}\Rightarrow C_{X}=C.\frac{\lambda 2}{{\lambda _{X}}^{2}}-1\)              

+ Khi \(\lambda _{X}=10m\Rightarrow C_{X}=\frac{5.10^{-6}}{\left ( \frac{6\pi .10^{5}}{10} \right )^{2}-1}=1,4.10^{-16}(F)\)

+ Khi \(\lambda _{X}=50m\Rightarrow C_{X}=\frac{5.10^{-6}}{\left ( \frac{6\pi .10^{5}}{50} \right )^{2}-1}=3,5.10^{-15}(F)\)

Kết luận:  \(1,4.10^{-16}(F)\leq C\leq 3,5.10^{-15}(F)\)

Bài 6:   Mạch chọn sóng của một máy thu vô tuyến điện gồm một cuộc dây có độ tự cảm L và một bộ tụ điện gồm tụ điện chuyển động C₀ mắc // với tụ xoay Cx.Tụ xoay có có điện dung biến thiên từ C₁= 10pF đến C₂= 250pF. khi góc xoay biến thiên từ \(0^{0}\) đến \(120^{0}\). Nhờ vậy, mạch thu được sóng điện từ có bước sóng trong dài từ \(\lambda _{1}\) = 10m đến          \(\lambda _{2}\)= 30m. Cho biết điện dung của tụ điện là hàm bậc nhất của góc xoay.

1. Tính L và C₀

2. Để mạch thu được sóng có bước sóng \(\lambda _{0}\) = 20m thì góc xoay của bản tụ bằng bao nhiêu?

c = 3.10⁸m/s

 Lời giải:

1. Từ Công Thức :  \(\lambda =2\pi c\sqrt{LC_{b}}\rightarrow LC_{b}=\frac{\lambda ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}\)

Khi Cx đạt giá trị C₁= 10pF: LC (C₁+ C₀) = \(\frac{{\lambda _{1}}^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}\)

Khi Cx = C_2:  L(C₂+ C₀) = \(\frac{{\lambda _{2}}^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}\)

Thay C₁= 10.10^-12= 10^-11 (pF);  C₂ = 10^-12.250 = 25.10^-11 (F) \(\rightarrow\) C₀= 2.10^-11 (F)

\(L=\frac{{\lambda _{1}}^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}(C_{1}+C_{2})}=9,4.10^{-7}(H)\)   

\(\lambda _{0}=2\pi c\sqrt{L(C_{0}+C_{3})}\)   \(\Rightarrow C_{3}=\frac{{\lambda _{0}}^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}L}-C_{0}=10^{-10}(F)=10(pF)\)

2.Kí hiệu \(\varphi\) là góc xoay của bản tụ thì: \(C_{X}=C_{1}+k.\varphi =10+k.\varphi (pF)\)

Khi \(\varphi\) = 0 \(\Rightarrow\) Cx = C₁ = 10 (pF)

Khi \(\varphi\) = 120⁰ \(\Rightarrow\) Cx = 10 + k.120 = 250 (pF) \(\Rightarrow\) k = 2.

Như vậy Cx = 10 + 2\(\varphi\)

Khi \(\lambda =\lambda _{0}\) thì Cx = C3= 100 (pF) \(\Rightarrow \varphi =45^{0}\)

Tụ điện ghép:

Bài 7:   Khung dao động gồm cuộn L và tụ C thực hiện dao động điện từ tự do, điện tích cực đại trên 1 bản tụ là

Q₀ = 10^-6C và chuyển động dao động cực đại trong khung là I₀ = 10A.

a. Tính bước sóng của dao động tự do trong khung

b. Nếu thay tụ điện C bằng tụ C'  thì bước sóng của khung tăng 2 lần. Hỏi bước sóng của khung là bao nhiêu nếu mắc C' và C song song, nối tiếp?

Lời giải

a. Tính bước sóng 

Năng lượng điện từ trong khung dao động

\(E=E_{đ}+E_{t}=\frac{q^{2}}{2C}+\frac{1}{2}.Li^{2}\)      \(E=E_{đmax}=E_{tmax}\rightarrow \frac{{Q_{0}}^{2}}{2C}=\frac{L.{I_{0}}^{2}}{2}\)

Do đó    \(LC=\frac{{Q_{0}}^{2}}{{I_{0}}^{2}}\Rightarrow \sqrt{LC}=\frac{Q_{0}}{I_{0}}\)

Bước sóng : \(\lambda =2\pi \sqrt{LC}=2\pi .3.10^{8}.\frac{10^{-6}}{10}\approx 188,4(m)\)

b. Bước sóng của khung 

+ Khi có tụ C:      \(\lambda =2\pi c\sqrt{LC}\)

+ Khi có tụ C^' :     \(\lambda =2\pi c\sqrt{LC'}\)

                    \(\frac{\lambda }{\lambda ^{'}}=\sqrt{\frac{C}{C'}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{C}{C'}=\frac{1}{4}\Rightarrow C'=4C\)

+ Khi C nt C^': \(C_{b1}=\frac{C.C'}{C+C'}=\frac{4C^{2}}{5C}=\frac{4}{5}C\)

Bước sóng     \(\lambda _{1}=2\pi \sqrt{L.\frac{4}{5}.C}=\frac{1}{\sqrt{5}}\pi c\sqrt{LC}=\frac{2}{\sqrt{5}}\lambda \Rightarrow \lambda _{1}=168,5(m)\)

+ Khi C // C^': C_b2= C + C^' = 5C

Bước sóng   \({\lambda _2} = 2\pi \sqrt {5LC}  = \sqrt 5 {\lambda _1} = 421,3(m)\)