Bài toán độ cứng lò xo thay đổi

Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật dao động điều hòa với biên độ  Khi vật đi qua vị trí cân bằng người ta giữ chặt lò xo ở vị trí cách điểm treo của lò xo một đoạn bằng 3/4 chiều dài của lò xo lúc đó. Biên độ dao động của vật sau đó bằng

    A. 2A                      B. \(A\sqrt{2}\)                      C. A/2                       D. A

Giải:

* Ban đầu: \(\Delta l=\frac{mg}{k}\)

 Khi vật ở VTCB chiều dài lò xo là: \(l_{0}+\Delta l\)

* Khi 1 điểm trên lò xo bị giữ lại:

 chiều dài lò xo còn lại khi đó: \(l'=\frac{l_{0}}{4}+\frac{\Delta l}{4}\)

 chiều dài tự nhiên của lò xo còn gắn với vật là: \(l_{0}'=\frac{l_{0}}{4}\Rightarrow k'=4k\Rightarrow \omega '=2\omega\)

\(\Delta l'=\frac{mg}{k'}=\frac{\Delta l}{4}\Rightarrow\) chiều dài lò xo ở VTCB: \(l_{cb}=l_{0}'+\Delta l'=\frac{l_{0}}{4}=l'\)

\(\Rightarrow\) VTCB của con lắc không thay đổi

 vận tốc vật khi đó: v_max = \(\omega\)A = \(\omega\)’A’ \(\Rightarrow\) A’ = A/2 \(\Rightarrow\) chọn C

Câu 2. Một con lắc lò xo có độ cứng k, chiều dài l, một đầu gắn cố định, một đầu gắn vào vật có khối lượng m.Kích thích cho lò xo dao động điều hòa với biên độ \(A=\frac{l}{2}\) trên mặt phẳng ngang không ma sát. Khi lò xo dao động và bị dãn cực đại, tiến hành giữ chặt lò xo tại vị trí cách vật một đoạn l, khi đó tốc độ dao đông cực đại của vật là:

   A.  \(l\sqrt{\frac{k}{m}}\)                    B. \(l\sqrt{\frac{k}{6m}}\)                   C. \(l\sqrt{\frac{k}{2m}}\)                 D. \(l\sqrt{\frac{k}{3m}}\)

Giải:

Cách 1: Độ dài tự nhiên của phần lò xo sau khi bị giữ \(l'=\frac{2}{3}l\)

Độ cứng của phần lò xo sau khi giữ là k’: \(\frac{k'}{k}=\frac{l}{l'}=\frac{3}{2}\Rightarrow k'=\frac{3}{2}k\)

Vị trí cân bằng mới cách điểm giữ lò xo \(l'\), khi đó vật

cách VTCB mới chính là biên độ dao động mới: \(A'=l-\frac{2}{3}l=\frac{1}{3}l\)

Tốc độ cực đại của vật tính theo công thức:

\(\frac{mv_{max}^{2}}{2}=\frac{k'A'^{2}}{2}\Rightarrow v_{max}=A'\sqrt{\frac{k'}{m}}=\frac{1}{3}l\sqrt{\frac{3k}{2m}}=l\sqrt{\frac{k}{6m}}\) 

\(\Rightarrow\) Chọn B

Cách 2: Khi vật ở M lò xo bị giữ tai N,Chiều dài tự nhiên của con lắc mới \(l'=\frac{2}{3}l\)

Độ cứng của con lắc mới \(k'=\frac{3k}{2}\)

Vị trí cân bằng mới O’ cách N: NO’ = \(\frac{2l}{3}\)

Biên độ của dao động mới A’ = O’M.vì lúc này vận tốc của vật bằng 0

A’ = O’M = MN – O’N = l – \(\frac{2l}{3}\) =  \(\frac{l}{3}\)

Gọi v là tốc độ dao động cực đại của vật: \(\frac{mv^{2}}{2}=\frac{k'A'^{2}}{2}=\frac{\frac{3k}{2}.\frac{l^{2}}{9}}{2}\Rightarrow v=l\sqrt{\frac{k}{6m}}\Rightarrow\) Chọn B

 Câu 3: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng chuyển động qua VTCB thì giữ cố định điểm I trên lò xo cách điểm cố định của lò xo một đoạn b thì sau đó vật tiếp tục dao động điều hòa với biên độ \(0,5A\sqrt{3}\). Chiều dài tự nhiên của lò xo lúc đầu là:

    A. 4b/3                      B. 4b                         C. 2b                         D. 3b

Giải: Sau khi giữ cố định điểm M: Con lắc mới vẫn dao động điều hòa quanh O với biên độ A’, độ cứng của lò xo k’

với độ dài tự nhiên \(l'=1-b\Rightarrow k'=\frac{l}{l-b}k\)

 \(\frac{k'A^{2}}{2}=\frac{kA^{2}}{2}\Rightarrow \frac{l}{l-b}k.\frac{A'^{2}}{2}=\frac{kA^{2}}{2}\Rightarrow \frac{l}{l-b}=\frac{4}{3}\Rightarrow l=4\) \(\Rightarrow\) Chọn B

Câu 4: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với biên độ A. Khi vật nặng chuyển động qua VTCB thì giữ cố định điểm cách điểm cố định một đoạn 1/4 chiều dài tự nhiên của lò xo.Vật sẽ tiếp tục dao động với biên độ bằng:

    A. \(A/\sqrt{2}\)                   B. 0,5A\(\sqrt{3}\)                 C. A/2                       D. A\(\sqrt{2}\)

Giải: Khi vật ở VTCB cơ năng của con lắc \(W=\frac{kA^{2}}{2}\) 

Sau khi giữ cố định điểm M: Con lác mới vẫn dao động điều hòa quanh O với biên độ A’, độ cứng của lò xo k’ với độ dài tự nhiên l’ = 3l/4 \(\Rightarrow\) k’ = 4k/3

Theo định luật bảo toàn năng lượng  \(\frac{k'A'^{2}}{2}=\frac{kA^{2}}{2}\Rightarrow \frac{4kA'^{2}}{3.2}=\frac{kA^{2}}{2}\Rightarrow A'=\frac{\sqrt{3}A}{2}=0,5\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\) Chọn B

Câu 5. Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A.  Đúng lúc lò xo giãn nhiều nhất thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó con lắc dao động với biên độ A’. Tỉ số A’/A bằng:

    A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)                         B.  \(\frac{1}{2}\)                          C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)                       D.  1

Cách 1: Tại biên dương A vận tốc vận bằng 0. Khi đó giữ cố định điểm chính giữa thì k’=2k. Vật dao động xung quang vị trí cân bằng mới O’ cách biên dương A một đoạn x.

Ta có: \(x=\frac{1}{2}(l_{0}+A)-\frac{1}{2}l_{0}=\frac{A}{2}\)

khi đó: \(A'=\sqrt{x^{2}+\left ( \frac{v}{\omega '} \right )^{2}}=\left | x \right |=\frac{A}{2}\Rightarrow\) chọn B

Bạn có thể hiểu đơn giản như sau:

Khi vật ở vị trí biên thì Cơ năng là thế năng của lò xo (cực đại) như vậy khi cố định thì 1/2 năng lượng đã biến mất.Khi đó Biên độ thay đổi và độ cứng cũng thay đổi

 \(\frac{1}{2}2kA'^{2}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}kA^{2}\) Do đó: A’/A = 1/2

Cách 2: Vật ở M, cách VTCB mới O’

Gọi l₀ là độ dài tự nhiên của lò xo.

 Vị trí cân bằng mới của con lắc

lò xo sau khi bị giữ cách điểm giữ

một đoạn . Do đó O’M = A’ = \(\frac{l_{0}+A}{2}-\frac{l_{0}}{2}=\frac{A}{2}\Rightarrow A'=\frac{A}{2}\)

Khi lò xo dãn nhiều nhất thì vật ở biên, động năng bằng 0. Nếu giữ chính giữa lò xo thì cơ năng của hệ giảm đi một nửa, đồng thời độ cứng của lò xo tăng gấp đôi nên ta có:

\(\frac{1}{2}2kA'^{2}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}kA^{2}\)  Do đó: A’/A = 1/2 \(\Rightarrow\) chọn B

Bạn đọc tải đầy đủ nội dung bài viết tại file đính kèm tại đây: